Lois de Kepler

L’applet :
Ce problème est ausi examiné dans l'applet Force centrale dans laquelle on détermine la trajectoire uniquement par intégration numérique des équations du système formé par les deux masses.
Ici, on commence par calculer les élement de la trajectoire dans le cas elliptique à partir des conditions initiales (x = xo, y = 0, vx = 0, vy = vyo). Ensuite, on vérifie par intégration numérique que cette trajectoire est suivie par la masse mobile.
Comme la force d'attraction entre les deux masses est f = - km/r², l'énergie potentielle est U = -km/r.
La conservation de l'énergie de ce système isolé donne :

v²/2 - h/r = E (énergie mécanique par unité de masse) Avec votre cours de mécanique, retrouvez les relations suivantes qui permettent de calculer a et b (demi-axes) de l'ellipse et T (période de révolution). v et r sont relatifs au même point de la trajectoire.

v² = k(2/r -1/a)
b² = r²v²a/k
kT² = 4p²a³

La relation 1 met en évidence une vitesse critique v²_c = 2k/r. Pour les vitesses initiales supérieures, le mouvement est hyperbolique. Cette relation montre aussi que pour v² = k/r, la trajectoire est circulaire.

Utilisation :
Avec la souris, glissez le point bleu situé à l'extrémité du vecteur vitesse initiale afin de modifier les conditions initiales. L'applet affiche dans le bandeau supérieur les paramètres de la trajectoire. Les unités sont arbitraires et la constante k est égale à 10. 4p²/k est donc voisin de 4.
Le bouton "Pause/Suite" permet de geler l'animation. Le bouton "Aires" qui fonctionne comme une bascule, permet de visualiser la loi des aires.
En mode normal, l'applet affiche les "rayons vecteurs" joignant le mobile aux foyers de l'orbite et le vecteur vitesse qui est tangent à la trajectoire.
Lors de la modification des conditions initiales, le programme affiche le graphe 2ln(T) - ln(4) en fonction de 3ln(a) afin de visualiser la 3° loi de Kepler : lors des modifications, le point représentatif se déplace sur la première diagonale du graphe.
Les valeurs trop faibles de r et de v sont automatiquement corrigées.